我们把eˣ里面的x替换成ix，再利用i²=-1，i³=-i，i⁴=1，便有

再把含有i的式子都提出来，并与sinx和cosx的麦克劳林展开式做对比，就变成

这样就得到了欧拉公式

上面这个证明可以说是非常地简洁与漂亮。但是很遗憾，从数学发展历史的角度来看，这个证明并不是很完善，因为在欧拉那个年代，还没有关于极限的精确定义，无穷级数的理论还很不成熟。当时的数学家也不会考虑收敛域这个问题。eˣ的泰勒公式里面x是实数，能不能随随便便地就换成复数，换成复数以后是否还是收敛的，以及e的复数次方又是什么含义，这些问题在当时都没有搞清楚。所以欧拉只是天才般的凭借自己的灵感写下了这个式子，但是它的严格证明则是等后来关于复数和无穷级数的理论发展完善之后才有的。