当然肯定有小伙伴要问，有没有其它的函数也满足这两个条件。答案是在可微的条件下，没有其它函数了。这就是所谓的解析函数唯一性定理，它告诉我们，在保持函数解析的情况下，只有这一种可能的结果，因此我们只能这样定义。于是我们就来定义复指数幂的运算法则

这样一来就是我们熟悉的欧拉公式了。因此与其说它是一个公式，倒不如是说它是一个定义。不是说为什么左边等于右边，而是说左边这个东西我们一开始不会算，然后我们就直接让它等于右面这个东西。这样一来，这个公式的神秘性就大大降低了。

sinx和cosx这种互相求导得到对方的性质，是电磁波理论的重要基础

当然还有很多小伙伴们肯定会不服气：好吧，我承认这个是定义出来的，但是这样定义是因为它要遵循一定的条件，而这个条件也有点太巧合了吧，这里面是不是包含着某种神秘性的东西呢。

其实也不是，我再来进一步解构一下。

本文提供了两种证明方法，第1种证明方法是利用的泰勒展开式，而我们在学习高数的时候肯定自己亲手计算过eˣ的泰勒展式，他之所以长那个样子，原因就是因为(eˣ)'=eˣ，而且它求任意次导都还保持不变。同样的，对于第2种柯西-黎曼条件的方法，我在文中也特地强调过，在求偏导的过程中，它所依赖的条件也是(eˣ)'=eˣ，所以说(eˣ)'=eˣ这个式子才是整个问题的关键。

那我们就来看一下(eˣ)'=eˣ又是怎么来的，它里面是否又包含着某些神秘性的东西呢？答案也是否定的，它一点儿也不神秘。

我们希望寻找一个函数，使得求完导保持不变。根据导数的定义来推导发现，幂函数，三角函数，对数函数都不符合，唯一有可能满足的只有指数函数，所以我们来考虑f(x)=aˣ，根据导数的定义有