大神合体（左为柯西，右为黎曼）

这里想顺便多说一句，一方面柯西-黎曼条件的出现使我们可以研究的函数的范围大大缩小了，因为只有很少一部分函数满足柯西-黎曼条件。另一方面，福兮祸之所倚，祸兮福之所伏。正因为有了柯西-黎曼条件，我们才可以以之为基础推导出更多的性质来。从这个角度讲，柯西-黎曼条件是大大的有用。

有了上述准备知识，我们就可以来研究复指数幂函数了，即指数为复数的指数函数。更通俗的讲，eˣ里当x是复数的时候，应该怎么计算。

我们先回顾一下实值函数值的情景，对于普通的实值函数f(x)=eˣ，它满足下面两个条件

数学上有这样一个规律，当你把一个简单的概念往更高的范围推广时，一定要保持在原有范围内的性质不能发生变化。于是我希望来定义一种e的复数次幂的计算方法，使得定义出来的这个方法仍然满足下面两条性质：

其中z，z₁，z₂都是复数。

首先假设

这里利用的是第二条性质，其中A(y)和B(y)就是我们一样寻找的函数，用我们前面的符号表示就是：