事实上，从《几何原本》诞生之日起，就有一个问题困扰着人们，最后一条公设，也就是著名的平行公设，也叫做第五公设——过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。有人怀疑它不像前4条公设那么简单，更像一个定理，被法国数学家达朗贝尔戏称为“几何学的家丑”，但“家丑”还是外扬了，最终诞生了非欧几何。

因为第五公设的漏洞在于，假如不是有且只有一条，而是有两条或两条以上呢？再者，压根就不存在平行线呢？先后产生了罗氏几何和黎曼几何。

1830年前后，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基就是用另一个平行公理代替了欧几里得的第五公设，即“在一个平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交”，演绎出一系列全无矛盾的结论，构建了另外一座靓丽的几何学大厦。

在推演过程中，罗巴切夫斯基得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题，往往与我们所习惯的直观有矛盾，一开始并没有像欧氏几何那样容易被接受，但后来人们发现，罗氏几何在研究宇宙空间或原子核世界的时候，比欧式几何更符合客观实际，并且在医学上有独特的应用。

1854年，德国数学家黎曼又提出了另一种几何，他用如下公理替代第五公设：“同一平面上的任何两条直线一定相交”，否定平行线的存在，人们把这种几何称为椭圆几何或黎曼几何。物理学家爱因斯坦广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。