（一）猜测探究

在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．

（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是____，NB与MC的数量关系是_____；

（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二）拓展应用

如图3，在△A₁B₁C₁中，A₁B₁＝8，∠A₁B₁C₁＝60°，∠B₁A₁C₁＝75°，P是B₁C₁上的任意点，连接AVP，将A₁P绕点A₁按顺时针方向旋转75°，得到线段A₁Q，连接B₁Q．求线段B₁Q长度的最小值．

【解析】（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．

理由：如图1中，

∵∠MAN＝∠CAB，

∴∠NAB ∠BAM＝∠BAM ∠MAC，

∴∠NAB＝∠MAC，

∵AB＝AC，AN＝AM，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN＝CM．

故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．

（2）如图2中，①中结论仍然成立．

理由：∵∠MAN＝∠CAB，

∴∠NAB ∠BAM＝∠BAM ∠MAC，

∴∠NAB＝∠MAC，

∵AB＝AC，AN＝AM，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN＝CM．

（二）如图3中，在A₁C₁上截取A₁N＝A₁B1₁，连接PN，作NH⊥B₁C₁于H，作A₁M⊥B₁C₁于M．

∵∠C₁A₁B₁＝∠PA₁Q，

∴∠QA₁B₁＝∠PA₁N，

∵A₁A＝A₁P，A₁B₁＝AN，

∴△QA₁B₁≌△PA₁N（SAS），

∴B1Q＝PN，

∴当PN的值最小时，QB₁的值最小，

在Rt△A₁B1M中，∵∠A₁B₁M＝60°，A₁B₁＝8，

∴A₁M＝A₁B₁•sin60°＝4√3，

∵∠MA₁C₁＝∠B₁A₁C₁﹣∠B₁A₁M＝75°﹣30°＝45°，

∴A₁C₁＝4√6，

∴NC₁＝A₁C₁﹣A₁N＝4√6 ﹣8，

在Rt△NHC₁，∵∠C₁＝45°，

∴NH＝4√3﹣4√2，

根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，

∴QB₁的最小值为4√3﹣4√2．

视角3 动点 旋转综合问题

7．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．

①∠BEP＝______　°；

②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是______　．

（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．