从基本不等式的几何证明谈起

我们来看一道题目。［例题1］设a、b为正实数，用几何图形证明：

基本不等式

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题目要求我们证明的是一个很重要的基本不等式。

对此，只须联想到半圆的弓形角是直角及弦高定理的图形性质，就不难完成解题了(图3).

图3

上图的内涵很丰富，我们可以细细品味。半圆所对的弦AB是⊙O的直径，O是圆心。半径OD与圆周交于D点。从D点作垂线CD⊥AB，垂足是C。

因为直径所对的圆周角都是直角，所以三角形ABD是直角三角形，CD是直角三角形斜边上的高。图上A、B、C、D四个点可以构成三个直角三角形，而且这三个直角三角形彼此之间两两相似。(同学们自己思考为什么两两相似？)

图中AC=a，CB=b，半径OD=½(a b)，CD=根号ab。

为什么CD=根号ab呢？这可以用相似三角形对应线段成比例来说明。连接AD和BD，立刻得到三个彼此相似的直角三角形。于是有

AC:CD=CD:CB，⇒CD²=ab，(CD是比例中项)，所以

CD=根号ab。

图3可以直观地看到，基本不等式的左边是半径，是直角三角形的斜边，基本不等式的右边是直角边，当然小于斜边。那么，什么时候基本不等式取等号呢？只有旋转半径OD，使其和直径AB垂直时，此时垂足C和圆心O重合，a=b，基本不等式可以取等号。基本不等式的意义是算术平均数大于等于几何平均数。

在直角三角形ABD中，三条高有怎样的数量关系呢？如果用h表示斜边上的高CD，那就可以用一个公式来表达三条高的关系：

a和b是直角边

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这个公式被称为弦高定理。举个例子，设直角三角形三边为a=6，b=8，c=10，那么有