陈景润

又如另一个广为人知而迄今没有解决的数学难题，叫做孪生质数猜想（twin prime conjecture）。相差为2的一对质数叫做孪生质数，例如3和5、5和7、11和13、137和139等等。孪生质数猜想说的就是：存在无限多对孪生质数。中国数学家张益唐对孪生质数猜想有巨大的贡献，但仍然没有彻底解决这个问题。假如我们有质数的通项公式，那么也许我们很快就能确定哪些质数跟它的下一个质数只相差2，只要做一些简单的代数计算就行了。

张益唐

现在你看出来了吧，许多关于质数的经典难题都是由于我们对质数的分布了解得太少。假如我们对质数有了一个通项公式，世界将会变得多么美好！黎曼猜想，就是通向这个宏大目标的重要一步。

搞清楚了这个背景，我们就可以来考察下一个问题了：如何研究质数的分布？

嘿嘿，从这里开始，难度就陡然上升了。如果说前面的内容你轻轻松松就能听懂的话，那么这里你就必须写一些公式，做一些演算，才能理解妙处所在。所以让我们再次吆喝一声：把瓜放下！

研究质数分布的基本工具，是伟大的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）提出来的，叫做欧拉乘积公式：

欧拉

这个公式左边的n指的是所有的自然数，1、2、3、4、5等等，右边的p指的是所有的质数，2、3、5、7、11等等。公式中的s是一个变量。我们可以证明，对于任何一个大于1的实数s，欧拉乘积公式都成立。这个证明，我们待会来讲。

为了节约篇幅，数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和，用大写的希腊字母Π来表示连乘。此外，学过初中数学的同学们都知道指数为负的乘方是什么意思，a的-b次方就等于a的b次方的倒数，即1除以a的b次方。因此，我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：