如果你对这个简写的形式感到晕头转向，没关系，回到上面的扩展形式就能看明白了。
欧拉乘积公式为什么是正确的？为什么左边的一个对自然数的求和可以变成右边的一个对质数的乘积？现在我们就来证明它。
为了简化表达，让我们把n-s记作f(n)。那么左边就是Σn f(n) = f(1) f(2) f(3) … f(n) …，让我们把它记作A。右边就是Πp[1- f(p)]-1，让我们把它记作B。现在我们要证明的，就是A = B。
我们可以注意到，对于任意两个自然数m和n，f(m)跟f(n)的乘积就等于f(mn)，因为两个数的同一指数的乘方之积等于这两个数先乘积再乘方，
利用这个性质，我们来问，把f(2)乘到左边这个无穷级数A = Σn f(n)上面，会得到什么？显然，f(2)乘以第一项f(1)得到f(2)，乘以第二项f(2)得到f(4)，乘以第三项f(3)得到f(6)，如此等等，最后得到的就是：
在这个级数中，出现了所有的2n，也就是所有的以2作为质因数的合数。那么我们再来问，从A当中减去f(2) A，又会得到什么？答案明显是：
就是在所有的f(n)之和中，去掉了那些包含质因数2的合数的项。
现在我们再来问，对A [1 - f(2)]乘以[1 - f(3)]，又会得到什么？根据同样的推理，你很快会发现，答案就是在上面的基础上，再去掉所有那些包含质因数3的合数的项。也就是说：
