也许你会问，有一些合数的质因数中既包括2，也包括3，例如6 = 2 × 3，它们对应的项会怎么样？回答是：这些项在第一步操作，即乘以[1 - f(2)]时就已经消去了。在第二步操作，也就是乘以[1 - f(3)]的时候，是把第一步中剩下的那些质因数不包括2、但包括3的项消掉，例如f(3)和f(9)。总而言之，一个质因数包括3的合数必然会被消灭掉，可能在第一步，也可能在第二步。在哪一步消失不重要，真正重要的是没有漏网之鱼，因为最后一步是兜底的通*。
再下一步，我们再来问，对A [1 - f(2)] [1 - f(3)]再乘以[1 - f(5)]，又会得到什么？根据同样的推理，答案就是在上面的基础上，再去掉所有那些包含质因数5的合数的项。也就是说：
我们把这种操作继续下去，对于越来越大的质数p，一再地把[1 - f(p)]乘到左边。那么右边剩下的项就越来越少，会依次地消失掉质因数7的项、质因数11的项、质因数13的项等等。
最后，当我们把这个操作进行无限多次，把所有的质因数包含某个质数的项都消掉，右边会剩下什么？
回答是只能剩下一项，就是f(1)！
为什么呢？因为任何一个大于1的自然数，都或者是一个质数，或者可以表示成若干个质数的乘积，而且这种质因数分解是唯一的。这个命题有个超级高大上的名称，叫做算术基本定理（fundamental theorem of arithmetic）。当然，即使是对于小学高年级学生来说，算术基本定理的内容都是常识了。
因此，任何一个大于1的自然数对应的项f(n)，都会在我们不断地把[1 - f(p)]乘到左边的某一次操作中消失。最后屹立不倒的就只剩下一项，f(1)，因为任何一个质数都大于1，所以不能把f(1)消掉。让我们回顾一下，1既不是质数也不是合数！
现在请问，f(1)等于多少？看定义，f(n) = n-s，而1的任意指数的乘方都等于1，所以无论s取什么值，f(1)就等于1。
于是我们得到了一个惊人的结果：
把左边的这个连乘移到右边去，就变成了A等于它的倒数Πp [1- f(p)]-1。这个表达式是什么？正是我们前面简写的B。
因此，我们确实证明了A = B，也就是欧拉乘积公式：
同学们是不是很开心啊？
