数学分析研究的基础是极限。

事实上，牛顿已经给出了极限的想法，但如前面引用的那样，牛顿是用极限解释无穷小量。对于牛顿和莱布尼茨特别关注的无穷小量，法国数学家达兰贝尔的态度是十分明确的，在《百科全书》的“微分”条目中，他认为“关于无穷小量所作的假设只是为了推理的简化”，“那些量（导数）不代表无穷小量之商，而是两个有限量之比的极限”。1786年，惠利尔用符号表达了这个定义，即瞬时速度=dy/dx=lim(△t→0)[(f(t₀ △t)-f(t₀))/△t]。接下来，达兰贝尔又在“极限”条目中明确指出：

当一个量以小于任何给定的量逼近另一个量时，可以说后者是前者的极限，......极限理论是微分学真正形而上学的基础......

柯西在他1821年出版的《分析教程》中则给出了我们今天仍然在使用的定义：

一个变量逐次所取得值无限趋向于一个固定值，使得所取的值与该定值要多小就多小，那么，就称这个定值为所有其他值的极限。

然后，柯西以及魏尔斯特拉斯用数学符号清晰地表达了上面的意思。假定一个变量的取值依次为：

1/1，1/2，1/3，1/4，......

这就形成了一个数列，我们用{1/n}表示这个数列，其中n由小到大依次取正整数。虽然这个数列中的每一项都大于0，但随着n的增大这个数列的取值可以无限地解决0，于是就定义这个数列的极限为0。我们可以把这些话语进一步用符号来阐述：

对于任意ε>0，不管ε是多么的小，只要不是0，就存在N（比如令N为大于1/ε的正整数），这样当n>N时，就有

|(1/n)-0|<ε

表示为lim(n→∞)1/n=0

这表明1/n与0之间的差可以任意的小，于是称0为数列{1/n}的极限。这种想法显然可以推广到一般，下面给出一个数列收敛到某个极限的定义：

对于数列{a_n}和数值a，如果对于任意ε>0，均存在N，使得当n>N时，有

|a_n-a|<ε

则称数列{a_n}是收敛的，并称a为数列{a_n}的极限，表示为

lim(n→∞)a_n=a

定义中所说的“对于任意ε>0”实质是在说“对于无论怎样小的正数ε”，这一点与牛顿最初的想法是一致的，只是避免了使用“无穷小量”这样很难给出定义的词语。因此，数列收敛的定义阐述的是这样一个事实：任意做一个包括数值a的区间，无论这个区间怎样小，都能找到一个N，使得数列中a_N以后的所有项都在这个区间之内，则称a为这个数列的极限。

下面我们来分析一个数列{a_n}收敛的条件，由定义容易得到：当n趋向无穷时，数列中相领两个项的差a_{n 1}-a_n将趋向于0，这是因为由三角不等式可以得到

|a_{n 1}-a_n|≦|a_{n 1}-a| |a_n-a|<2ε

而ε是一个可以任意的小的量。但是，这只是一个必要条件，即任何收敛数列都必须满足的条件，如果要把这个条件作为收敛准则，还需要证明充分性。事实上，这个条件是不充分的，即满足这个条件的数列不一定收敛，我们将在下面进一步讨论无穷级数时给出一个例子。一个判断数列收敛的，简洁明快的充分必要条件是柯西给出的，被称为柯西准则：

一个数列{a_n}收敛的充分必要条件是，对于任意给定的正整数k都有：当n→∞时，

a_{n k}-a_n→0

这比刚才说的必要条件的要求更强了，因为在必要条件中只是要求k=1。

这就是第二步的抽象。可以看到，通过定义和符号的表达，已经完全摆脱了对于物理或者几何直观的依赖，有了这些基本表达，就可以摆脱牛顿和莱布尼茨以来数学出现的“解释不清”的尴尬局面了。