那么，如果是1,2,3,4,四个数相乘，我们也可以考虑，对于每一个1,2,3形成的式子

比如(1×2)×3

将4乘到每一个数左右，得到6个

将4乘到整个式子前，得到1个

将4乘到整个式子后，得到1个

也就是得到8个，于是

思路正确的，遗憾的是，上述过程有点问题。

按照上述过程，(1×2)×3可以变出8个

((4×1)×2)×3，((1×4)×2)×3，(1×(4×2))×3，

(1×(2×4))×3，(1×2)×(4×3)，(1×2)×(3×4)

4×((1×2)×3)，((1×2)×3)×4

检查一下很容易发现，漏掉了两个

(4×(1×2))×3，((1×2)×4)×3

我们需要重新解释从2到3的过程

只有1,2两个数组成的积，可以看成1个乘积，将3加到这个乘积的两端，每一端都可以左乘，也可以右乘，因此一个乘积变成4个。再加上左乘全部，和右乘全部，一共6个。

即1×2是一个乘积，3可以左右加到乘积的两端

(1×3)×2，(3×1)×2，1×(3×2)，1×(2×3)

左乘全部，即3×(1×2)

右乘全部，即(1×2)×3

因此

用这个递推来看待从3到4，

对于1,2,3的每一个乘积，如(1×2)×3，有2个乘法，

将4乘到每一个乘法的两端，都可以左乘也可以右乘，即4×2种方法

((4×1)×2)×3，((1×4)×2)×3，(1×(4×2))×3，(1×(2×4))×3，

(4×(1×2))×3，((1×2)×4)×3，(1×2)×(4×3)，(1×2)×(3×4)

将4左乘全部，右乘全部，又得到2个

4×((1×2)×3)，((1×2)×3)×4

即

搞清楚了前面几个简单的和复杂的，我们就可以推到一般的。

对于1,2,3…n-1，有n-2个乘积，可以将n乘到每一个乘积的两端，每一端都可以左乘也可以右乘；还可以左乘全部，也可以右乘全部。

即