策略3：利用线段中点构造平行四边形

8．如图，在等边三角形ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP＝CQ，今量得点A与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则点P与点C之间的距离等于_____ cm．

【分析】如图，作PN∥AC交BC于N，连接NQ，连接AN交PQ于M′．首先证明四边形APNQ是平行四边形，推出M与M′重合，再证明PC＝AN即可解决问题．

【解答】如图，作PN∥AC交BC于N，连接NQ，连接AN交PQ于M′．

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∴∴∠PNB＝∠ACB＝60°，∴△PBN是等边三角形，∴PB＝PN，

∵AB＝AC，AP＝CQ，∴PB＝AQ＝PN，

∴四边形APNQ是平行四边形，∴PM′＝QM′，

∴M与M′重合，AM＝MN＝19cm，AN＝38cm，

在△ABN和△CBP中，BN＝BP，∠B＝∠B，AB＝BC，

∴△ABN≌△CBP，∴PC＝AN＝38cm，故答案为38cm．

9．如图，已知四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．求证：EF和GH互相平分．

【分析】要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明．

【解答】证明：连接EG、GF、FH、HE，

∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，

∴EG、HF分别是△ABC与△DBC的中位线，

∴EG＝1/2BC，HF＝1/2BC，∴EG＝HF．

同理EH＝GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．

10．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点（不在直线AC上），∠ACB＝90°，M为AB的中点．

操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME＝PM，连接DE．

（1）请你猜想与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜想；

（2）若将"Rt△ABC"改为"任意△ABC"，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．