解：

设有图形ABCDE，AE边为直线

连接AC，CE

证：

当∠ACE=90°时，图形ABCDE面积最大

∵S△ACE=CE×hCE/2

∴S△ACE=CE×AC×sin∠ACE/2

或S△ACE=CE×AC×sin(180°-∠ACE）/2

∵AC长度不变，如下图

AC，CE不变，点A在⊙C上，AK⊥CE

这时S△ACE=CE×AC×sin(180°-∠ACE）/2=CE×AI/2

可知，当AK为直径时,AI最大

（证明过程参照公众号菜单中的命题3.15）

∵CE不变

∴此时S△ACE最大

此时点C,点I重合，∠ACE=90°

∴可作弓形A’B'C‘≌弓形ABC，弓形C'D'E'≌弓形CDE，∠A’C‘E’=90°

此时SABCDE＜SA'B'C'D'E'

∵直角三角形斜边中线等于斜边的一半

∴线A'B'C'D'E'上任意一点到A'E'中点的距离都等于A'E'的一半

∴图形A'B'C'D'E'是半圆

∴两端在同一直线上且周长相等的图形中，面积最大的是半圆

证毕

结合第二个证明，我们知道，直线另一边，周长相等且面积最大的图形，也是个半圆。由此可知，同周长的图形中圆的面积最大（虽然这个证明是不太严格的）

END

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