引文格式：林东方, 姚宜斌, 郑敦勇, 等. 利用TSVD参数估值变化特性确定算法截断参数[J]. 测绘学报，2022，51(8)：1787-1796. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210377

LIN Dongfang, YAO Yibin, ZHENG Dunyong, et al. Determination of truncation parameter based on the differences of TSVD parameter estimates for ill-posed problems in geodesy[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(8): 1787-1796. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210377

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受观测条件限制，在地球重力场反演、GNSS空间环境测量及InSAR地表形变测量等大地测量应用领域常会出现病态问题^[1-7]。病态问题导致模型解算稳定性较差，难以得到准确可靠的模型参数估值，如何处理与解算病态问题成为大地测量数据处理的重要研究内容^[8-9]。

病态问题具体表现于函数模型的奇异性及模型参数估计的扰动性上^[10]。病态函数模型设计矩阵往往包含较小的甚至接近于零的奇异值，该奇异值导致参数估值方差较大，观测数据中的微小误差即引起参数估值的剧烈扰动，这种情况下，常规最小二乘估计难以得到模型参数的准确估值^[11]。为了提高估值的稳定性和可靠性，文献[12—15]在最小二乘估计基础上提出了正则化法、岭估计法、截断奇异值法(truncated singular value decomposition，TSVD)等有偏估计方法。在均方误差意义下，3种方法均通过增加偏差、减少方差的形式降低模型参数估值均方误差，然而如何确定偏差与方差平衡点，以最大程度降低均方误差，仍是3种方法尚未解决的难题^[16-17]。TSVD通过截掉小奇异值来降低方差，是一种较为简捷高效的病态问题解算策略，在诸多领域得到了广泛应用^[18-19]。影响TSVD模型参数估值均方误差的关键因素是截断参数，目前，常用的截断参数确定方法主要有L曲线法、均方误差最小法等，L曲线法通过计算模型参数估值二范数与观测值残差二范数变化曲线的拐点来确定截断参数。L曲线法确定的截断参数没有明确的理论依据，曲线拐点处的参数估值并不代表最优的参数估值^[20-21]。均方误差最小法通过计算各截断参数下的模型参数估值均方误差最小值确定截断参数^[22]，该方法理论依据明确，但均方误差的计算需要利用模型参数真值，而真值是未知的，以估值代替真值计算的均方误差与真实均方误差存在一定差异，限制了TSVD解算效果。

均方误差反映了模型参数的估计质量，对于有偏估计，均方误差由方差与偏差两部分组成，TSVD截掉小奇异值引起参数估值方差与偏差的变化(方差减小，偏差增大)，该变化将反映在模型参数估值的变化上。鉴于此，本文利用参数估值变化分析奇异值截掉后的偏差变化，结合奇异值截掉后的方差变化确定最优截断参数，克服参数真值未知偏差难以计算问题，并通过试验验证本文方法的可行性与有效性。

1.1 TSVD解算方法

TSVD方法是在最小二乘估计算法基础上发展的病态问题解算方法，最小二乘估计准则表示为^[23-25]

(1)

式中，V=AX-L，表示观测值残差向量；A表示设计矩阵；L为观测向量；X表示未知模型参数；P为权重矩阵；由最小二乘估计准则可得模型参数估值为

(2)

若函数模型病态，则设计矩阵A存在较小的奇异值，对A进行奇异值分解可得