(7)

式中，t表示由截断参数确定的需保留的t个较大奇异值。

1.2 常用TSVD截断参数确定方法

影响TSVD解算效果的关键因素是截断参数，最优截断参数可最大程度提高模型参数的估计精度。目前，最为常用的截断参数确定方法有L曲线法、均方误差最小法等。

1.2.1 L曲线法

以log||Xt||为纵坐标，log||AXt-L||为横坐标绘制曲线，通过计算曲线上曲率最大点确定最优截断参数。该曲线形似L，因此称作L曲线法。L曲线法的核心是认为L曲线上曲率最大点对应的截断参数即是最优的截断参数^{[21, 26]}。

令η=log||Xt||，ρ=log||AXt-L||，则L曲线曲率可计算为

(8)

式中，ρ′、η′为一阶导数，ρ″、η″为二阶导数，以不同截断参数计算L曲线曲率，曲率最大点km对应的截断参数即为最优截断参数。L曲线法缺乏合理的理论依据，所确定的截断参数稳定性较好，但难以给出最优的截断参数。

1.2.2 均方误差最小法^[22]

均方误差是模型参数估值与真值之间差值的数学期望，反映了参数估值相对于真值的离散程度。TSVD模型参数估值均方误差可表示为

式中，Mt表示均方误差；E表示数学期望运算；

由式(9)可见，均方误差的计算需要模型参数的真值，但实际应用中，参数真值是未知的。鉴于此，均方误差最小法以模型参数估值代替真值计算均方误差。第1步，利用TSVD方法截掉1个最小奇异值获得模型参数初步估计值；第2步，以初步估值代替真值计算不同截断参数下的均方误差，由最小均方误差确定最优截断参数，再次估计模型参数，得到该截断参数下的模型参数估值；第3步，将模型参数第2步估值替代真值重新计算不同截断参数下的均方误差，确定最优截断参数，如此迭代计算，直至两次模型参数估值二范数收敛到某一较小值^[22]