(23)

式中，ω表示极化散射状态；γ(ω)为对应于极化状态ω的复相干系数，为已知观测值；φ₀表示地表相位，为未知参数；μ(ω)表示地体幅度比，为未知参数；γv表示纯体相干性，与植被高参数相关联。γv具体表达为

(24)

式中，σ表示消光系数，为未知参数；θ表示雷达入射角，为已知值；hv表示植被高参数，为未知参数；kz表示垂直向有效波数，为已知值。极化观测γ(ω)及纯体相干性γv为复数值。由散射模型可构建函数模型

由式(25)结合复数最小二乘估计准则，可构建高斯-马尔可夫(Gauss-Markov，G-M)模型^[28-29]

式中，Vγ表示残差向量；Aγ为系数矩阵；Xγ为模型参数改正数向量；Lγ表示实部与虚部残余常数向量。利用式(26)实现植被高参数平差估计。

本次试验利用HH、HV、VV、HHpVV、HHmVV、opt1、opt2、opt3、PDHigh、PDLow这10种极化方式观测数据，进行植被高参数估计。误差方程共包含植被高、地体幅度比等13个未知模型参数，设计矩阵奇异值情况见表 7。

表 7 观测方程设计矩阵奇异值Tab. 7 Design matrix singular values of observation equation

表选项

由表 7中的奇异值情况可知，设计矩阵存在严重的病态性。图 3为奇异值截掉后的TSVD参数估值及标准差变化情况。由于最小奇异值过小，截掉后标准差变化过大，参数估值及标准差变化趋势拆分为图 3(a)、图 3(b)两部分展示。由图 3可知，前2次截掉小奇异值，方差减少影响均要大于偏差增加影响，有利于降低模型参数估值均方误差。在第3次截掉奇异值后(截掉奇异值数为3)，方差减少对参数估值的影响要小于偏差增加对其影响，第3次截掉奇异值不利于均方误差的降低。因此，本文方法确定截断参数为2。为了对比分析，分别采用L曲线法、均方误差最小法确定截断参数，解算观测方程，获得植被高、地体幅度比等模型参数的TSVD估值。表 8为不同方法模型参数估计的结果。