0.068的算术平方根（0.0305的算术平方根）

i 1个奇异值后的参数估值。

从参数估值变化量中除去标准差变化影响即可估计出偏差变化影响

0.068的算术平方根,0.0305的算术平方根(33)

(22)

由式(20)和式(22)可知，截掉奇异值后的标准差变化量和偏差影响量均可通过式(22)计算得到。因而，该截断参数确定方法的理论依据更为明确客观，容易实现。但是，该方法依然存在缺陷，即在观测精度未知情况下，单位权方差的估计需利用多余观测来实现，多余观测的质量和数量决定了单位权方差估计的可靠性，进而影响到标准差计算的准确性。因此，该方法更适用于包含丰富多余观测的情形。

2 试验分析

2.1 空间测量试验

采用空间测边网算例进行试验分析，算例中包含2个未知点，9个已知点，通过19个等精度观测确定未知点坐标，观测中误差0.01m。未知点坐标真值为A(0，0，0)与B(7，10，-5)，两未知点之间的约束观测值为13.1859m，已知点坐标及其他观测值情况见表 1。

表 1 空间测边网观测信息Tab. 1 Spatial ranging information

已知点点号	X坐标	Y坐标	Z坐标	至A点观测值	至B点观测值
1	23	10	0.01	25.0787	16.7652
2	-10	9.99	0	14.1345	17.7196
3	35	10.01	-0.01	36.4159	28.4429
4	100	19.99	0.005	101.9794	93.6654
5	-36	10.005	0	37.3642	43.2991
6	0	10.01	-0.005	10.0100	8.6006
7	56	9.995	0.01	56.8961	49.2562
8	-15	10.015	-0.01	18.0359	22.5597
9	-1.7	10.008	0.015	10.1506	10.0438

表选项

为了验证本文算法的有效性，针对上述测量问题，制定了两种解算方案：方案1利用18个观测值对两个未知点进行联合解算；方案2引入A、B约束观测，利用19个观测值联合解算两个未知点。

(1) 方案1。在A、B点联合解算时，设计矩阵的奇异值情况见表 2，奇异值中包含较小接近于0的奇异值，设计矩阵存在病态问题。由图 1可见，在截掉奇异值数为1时，参数估值相对于最小二乘估计变化量为2.55m，标准差减少量为1.84m。可见参数估值变化近70%是由标准差变化引起的，剩余30%则可认为是由偏差引起。因此，截掉最后1个奇异值，有利于降低参数估值均方误差。在截掉奇异值数为2时，参数估值变化量为0.22m，标准差变化量为0.04m，可见参数估值变化20%是由标准差变化引起，而剩余80%可认为由偏差引起，截掉该奇异值不利于降低均方误差。由此，本文方法确定的截断参数为1。L曲线法、均方误差最小法确定的截断参数见表 3。

表 2 A、B点联合解算设计矩阵奇异值Tab. 2 Design matrix singular value of joint estimation

γ₁	γ₂	γ₃	γ₄	γ₅	γ₆
2.8639	2.4276	1.7626	0.8880	0.0980	0.0023

表选项

0.068的算术平方根,0.0305的算术平方根(34)

图 1 截掉奇异值后的参数估值及标准差变化Fig. 1 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values

图选项

表 3 不同方法模型参数估计结果Tab. 3 Model parameter estimation results of different methods

参数	最小二乘	L曲线-截断参数3	均方误差最小-截断参数1	本文方法-截断参数1
X _A	-0.006	-0.005	-0.005	-0.005
YA	0.048	-0.001	-0.001	-0.001
ZA	2.750	0.196	0.196	0.196
XB	7.001	7.004	7.001	7.001
YB	10.025	9.810	10.025	10.025
ZB	-5.009	-4.995	-5.009	-5.009
∑\|Δ\|	2.838	0.401	0.237	0.237

表选项

由表 3可知，病态问题影响了最小二乘估计的参数估值精度。TSVD通过截掉小奇异值可有效改善最小二乘方法参数估计结果，降低参数估计误差。但L曲线法截掉3个小奇异值的坐标参数估计误差要大于均方误差最小法与本文方法截掉一个最小奇异值，可见均方误差最小法与本文方法确定的截断参数优于L曲线法，由此表明，两种方法均可得到较优的截断参数。

(2) 方案2。引入联测约束的设计矩阵奇异值见表 4。由表 4可知，引入联测约束后，观测方程设计矩阵病态性得到改善，对比表 2，各奇异值均有所增大，病态性影响减弱。继续采用最小二乘与TSVD方法解算参数进行对比分析。本文截断参数确定方法参数估值及标准差变化情况如图 2所示，截掉任一奇异值后的参数估值变化量均要远大于标准差变化量，即截掉奇异值后的偏差影响要大于方差影响，因此，不应截掉奇异值，本文方法确定截断参数为0。L曲线与均方误差最小法确定截断参数见表 5。

表 4 引入联测约束的设计矩阵奇异值Tab. 4 Singular values of design matrix with constraint

γ ₁	γ₂	γ₃	γ₄	γ₅	γ₆
2.9429	2.4700	1.9587	0.9646	0.6853	0.0443

表选项

0.068的算术平方根,0.0305的算术平方根(35)

图 2 截掉奇异值后的参数估值及标准差变化Fig. 2 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values

图选项

表 5 不同方法模型参数估计结果Tab. 5 Model parameter estimation results of different methods

参数	最小二乘	L曲线- 截断参数3	均方误差最小- 截断参数1	本文方法- 截断参数0
X _A	-0.005	-0.008	-0.005	-0.005
YA	-0.006	-0.008	-0.000	-0.006
ZA	-0.068	0.181	0.228	-0.068
XB	7.001	6.987	7.003	7.001
YB	10.022	9.770	9.874	10.022
ZB	-5.009	-5.159	-4.999	-5.009
∑\|Δ\|	0.110	0.599	0.363	0.110

表选项

由表 5可知，引入联测约束后，病态问题对最小二乘估计的影响减弱，最小二乘方法可得到参数的可靠估值。采用TSVD方法进行解算，通过L曲线法、均方误差最小法确定的截断参数，TSVD分别需要截掉3个和1个奇异值，但截掉奇异值引入偏差对参数估值的影响要大于降低方差，从而降低了参数估值精度。采用本文方法确定的截断参数为0，无须截掉奇异值，则TSVD与最小二乘估计结果相同，参数估值精度最优。

TSVD是在最小二乘估计基础上建立的病态问题解算方法，其解算效果取决于截断参数的选择。综合分析两种方案的解算结果可知，L曲线法确定截断参数依赖于奇异值大小差异，差异较大时，则容易出现拐点，但该拐点不能保证模型参数估计质量；均方误差最小法易受最小奇异值截掉后模型参数估计质量的影响，初步估计结果往往决定了截断参数的选择；本文方法综合考虑了奇异值截掉后的方差变化及参数估值变化(即方差与偏差影响)，截断参数确定依据充分，两种方案下均给出了合理的截断参数，有效提高了TSVD模型参数估计精度。

2.2 PolInSAR植被高反演试验

PolInSAR是大地测量中具备穿透测量能力的新兴热门测量技术，已在大范围植被高度与林下地形测量中得到了广泛应用。PolInSAR通过多极化穿透观测，能够有效地获取植被覆盖区地表及植被体散射信息，为植被高度及林下地形测绘提供了可能。然而，PolInSAR多极化观测模型参数之间存在一定的相关性，导致利用多极化数据进行植被高反演时常出现病态问题^[27^-29^]，限制了植被高度的反演精度。为了验证本文方法的可行性与有效性，选取了德国宇航局BioSAR2008项目的E-SAR P波段多极化数据进行植被高反演试验，观测数据信息见表 6。此外，试验区拥有高精度LiDAR植被高测量数据，可用于对比分析PolInSAR植被高反演结果。

表 6 观测数据参数信息Tab. 6 Information of multi-polarization observation